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Dimensão de Goldie de Módulos

26/04/2001 Quinta-feira, 26 de Abril 2001, 16h, Sala B1 - 01 
Catarina Santa-Clara (CAUL, Universidade de Lisboa, Portugal)

Os módulos injectivos podem ser olhados como módulos que são "completos" no seguinte sentido algébrico: todos os homomorfismos "parciais" (de um submódulo de um módulo B) para um módulo injectivo A podem ser "completados" por homomorfismos "totais" (de B em A). Repare-se que outros tipos de objectos completos partilham propriedades de extensão semelhantes. Por exemplo: (a) se X e Y são espaços métricos sendo X completo, então qualquer aplicação uniformemente contínua de um subespaço denso de Y em X admite como extensão uma aplicação uniformemente contínua de Y em X; (b) se X e Y são álgebras de Boole sendo X completa, então qualquer homomorfismo de álgebras de Boole de uma subálgebra de Y em X admite como extensão um homomorfismo de álgebras de Boole de Y em X. Nestes contextos, objectos incompletos podem ser investigados mergulhando-os na sua completação. Seguindo este padrão, uma forma de estudar um módulo é completá-lo por um módulo injectivo, de uma forma canónica minimal, obtendo o seu invólucro injectivo. Invólucros injectivos podem ser usados para desenvolver uma noção muito útil de dimensão finita para módulos, a Dimensão de Goldie. Nesta exposição, provamos o seguinte resultado de Goldie: Um módulo tem dimensão finita se e só se não contiver uma soma directa infinita de submódulos não nulos, e utilizamos esta caracterização para definir dimensão de Goldie em Teoria de Reticulados. Este novo conceito relaciona-se com outras dimensões conhecidas e tem diversas aplicações.